O método de volumes finitos


Soluções analíticas da equações de Navier-Stokes têm se desenvolvido apenas para geometrias simples e fluxos em condições ideais. Devido a isto, o uso de métodos numéricos para resolução de fluxos reais em geometrias complexas tornou-se essencial.

O método de volumes finitos (Finite Volume Method – FVM em sua sigla em inglês) foi introduzido na década de 1970 por McDonald, MacCormack e Paullay e historicamente tem sido o método preferido pelos cientistas e engenheiros que trabalham com a mecânica de fluídos.

Na última década, o método dos elementos finitos (FEM) tem tido importantes avanços, conseguindo resolver com sucesso os desafios da mecânica de fluídos e ainda para problemas mais complexos relacionados a fluxos multifásicos, reativos, ou fortemente turbulentos, o método de volumes finitos é, na prática, a única solução.

Aspectos Gerais

Uma importante propriedade do FVM é que os princípios de conservação (massa, momentum e energia), que são a base da modelagem matemática para a mecânica do contínuo, por definição, são respeitadas pelas equações deduzidas por método de volumes finitos. O método não se limita somente a problemas de mecânica de fluídos, e, de forma geral, envolve os seguintes passos:

  1. Decompor o domínio em volume de controle;
  2. Formular as equações integrais de conservação para cada volume de controle;
  3. Aproximar numericamente as integrais;
  4. Aproximar os valores das variáveis nas faces e as derivadas com a informação das variáveis nodais;
  5. Montar e resolver o sistema algébrico obtido;

Malhas superficiais coloridas pela razão de aspecto da célula.

Figura 1: Malhas superficiais coloridas pela razão de aspecto da célula. Disponível em https://blog.pointwise.com

O ponto de partida do método de volumes finitos é a decomposição do domínio em pequenos volumes de controle (VCs), onde as variáveis são alojar os nós. Usualmente, os volumes de controle e os nós são definidos com uma grade numérica, a malha (Fig. 1). Os nós, onde se guardam as variáveis a serem resolvidas, se localizam nos vértices desta malha ou nos centros dos volumes (Fig. 2), e é a referência com a que se conta para aproximar a solução no resto do domínio.

Depois de ter definido os VCs, as equações de conservação são descritas em sua forma integral para cada volume. Neste processo, o teorema da divergência de Gauss é usado para converter integrais de volume sobre operadores de divergência e gradiente às integrais de superfície. Por exemplo, a equação de transporte geral.

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Onde ϕ é a variável transportada através de um meio de densidade ρ y e constante de difusão Γ que se move a uma velocidade com um termo fonte e Sϕ. Para obtenção final do sistema algébrico de equações, as integrais são aproximadas, as volumétricas fazem um cálculo simples baseado nas variáveis nodais, as superficiais aproximadas pelos balanços através das faces dos VCs. Neste processo, as aproximações das variáveis nas faces e dos gradientes são feitas em função das variáveis nodais:

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Finalmente, o sistema de equações é resolvido através de métodos segregados ou acoplados. Um aspecto fundamental nos algoritmos de solução é o processo de investimento de matrizes onde diversas técnicas têm sido desenvolvidas para aumentar a eficiência do uso de recursos computacionais e a velocidade da obtenção de resultados.

Nós nos vértices dos VCs (esquerda) e nós nos centros dos VCs (direita) para uma grade quadrilátera.

Figura 2: Nós nos vértices dos VCs (esquerda) e nós nos centros dos VCs (direita) para uma grade quadrilátera.

 

Por que FVM e não FEM para CFD?

Esta pergunta tem sido muito discutida, e na realidade não é uma pergunta fácil de ser respondida, já que abrange várias dimensões, desde aspectos puramente matemáticos e/ou numéricos, passando por aspectos de programação e até aspectos práticos relacionados a softwares comerciais.

No entanto, é possível encontrar um consenso relativo em alguns pontos. Por exemplo, é inegável que a última década tem tido avanços significativos na implementação de códigos que utilizam FEM para a resolução de problemas CFD, e que foram superados alguns paradigmas sobre a simulação de fluxos turbulentos, onde a inclusão de elementos de 7 ou 8 graus de liberdade tornavam as simulações FEM muito instáveis e inviáveis.

Porém, isto não significa que a data, desde o ponto de vista prático e massificação de uso, estão a par com FVM, ainda há um grande trecho a percorrer para ser utilizado com confiança por pesquisadores e em problemas industriais, onde os fluxos são, em geral, multifásicos e/ou reativos além de turbulentos.

É preciso mencionar que os softwares comerciais de maior prestígio e uso, entre eles o ANSYS Fluent, utilizam métodos numéricos baseados em FVM, onde existe uma experiência acumulada no “detalhe” da implementação de FVM em problemas de mecânica de fluídos (ondas de choque, combustão, superfície livre, entre outros) muito superior a FEM. Talvez não seja um ou outro método melhor em absoluto, talvez seja possível obter soluções mais precisas, estáveis e rápidas combinando os dois… E, na realidade, isso não é novo, o ANSYS CFX e ANSYS Fluent já fazem!

Prof. Clovis R Maliska


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