Fundamentos Teóricos e Numéricos da Análise Acústica


Com a revolução industrial iniciada no final do século XIX, houve uma migração populacional do campo para a cidade, originando as grandes concentrações populacionais que temos nos dias atuais. Em consequência desse incremento da densidade populacional, os imóveis passaram a ficar menores, e mais próximos de fontes de ruído internos e externos ao lar. Assim, visando preservar um mínimo de condições de saúde e bem estar da população, algumas normas foram implementadas no intuito de regulamentar nível de ruído permissível para cada categoria de atividade, dando origem à necessidade de se obter maior conhecimento do comportamento acústico de algumas estruturas ainda na etapa de desenvolvimento de um produto. O presente artigo, portanto, tem a intenção de apresentar a base conceitual do tema (acústica) bem como a abordagem numérica para os usuários dos softwares da família ANSYS. Realizando uma analogia do comportamento acústico com o comportamento dinâmico estrutural, verifica-se que se pode traçar um paralelo entre ambos, considerando que o grau de liberdade de um sistema acústico é a pressão e pode ser comparável ao grau de liberdade de translação de uma análise estrutural. Traçando, ainda, um paralelo entre ambos os tipos de análises, a obtenção da solução do problema se dá através da resolução de uma equação da equação do movimento que, no caso acústico, corresponde à Equação de Helmholtz. Para obter esta equação, definem-se:

Equação de Euler

Equação da Continuidade

Onde é a densidade de massa do fluido, o vetor velocidade de partícula (velocidade de vibração de uma molécula de ar); , uma força por unidade de massa aplicada ao fluido; P, a pressão; Q,um volume adicionado ao fluido por unidade de tempo e o operador nabla, expresso em coordenadas cartesianas por: Considerando: Em que c é a velocidade de propagação da onda no fluido. Substitui-se (4) em (2), e derivando-se a expressão em relação ao tempo, obtém-se: Aplicando o operador nabla em (1), considerando o fluido invíscido e desconsiderando o termo  , resulta em: Substituindo (6) em (5), chega-se a:

Esta é a equação da onda não-homogênea linearizada que é a base para a representação de fluidos em elementos finitos. No entanto, a velocidade da onda é substituída pelo bulk modulus (módulo de compressibilidade), B, que estabelece uma proporção entre a pressão acústica e a variação de volume do fluido por unidade do mesmo, conforme a expressão:

Assim, (7) resulta em: Um sistema fluido-estrutura, quando representado em forma matricial, fica: O índice s refere-se à parte estrutural e f ao fluido. Desta forma, resulta para o fluido: Cada um dos componentes das matrizes da equação acima é calculado conforme as expressões abaixo:

Ni e Nj são as funções de interpolação que dependem i j dos tipos de elementos empregados nos modelos. O terceiro termo de (11) indica a influência da estrutura sobre o fluido, determinando a seguinte condição de contorno na interface:

onde 

é um vetor que define uma direção normal à superfície da estrutura. De forma semelhante, o fluido interfere no comportamento da estrutura através de forças aplicadas na superfície desta, conforme:

Quando as análises são efetuadas segundo o método modal, o sistema matricial dado pela expressão (11) deve ser expresso em forma de modos e das suas participações, resultando em:

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Neste caso, inicialmente, são calculados os autovalores e autovetores do sistema desacoplado, ou seja, calculam-se os modos da estrutura e do fluido separadamente. Em seguida, os fatores de participação modal são extraídos, chegando-se às respostas do sistema. Tendo em vista que a formulação para as análises acústicas em elementos finitos é baseada nas equações de Euler e da Continuidade, linearizadas, então existem algumas considerações que devem ser observadas.

  • Não existem efeitos rotacionais no fluido, tais como: ondas cisalhantes, turbulências, viscosidade ou sloshing (efeito que ocorre quando forças horizontais de baixa frequência acoplam-se com frequências naturais de um fluido contido num recipiente, proporcionando que sua superfície livre fique inclinada);

  • A razão entre a densidade e a pressão é localmente constante, ou seja, que o bulk modulus é uniforme ao longo do fluido;
  • Os deslocamentos das partículas de fluido são pequenos de forma que as análises realizadas se mantenham dentro da acústica linear.

Observa-se, ainda, das formulações que o único grau de liberdade para os nós de elementos fluidos é a pressão acústica. No entanto, no ANSYS através do keyoption 2 dos elementos acústicos (FLUID 29 e FLUID 30) há a opção para o usuário ativar graus de liberdade de translação, além dos graus de liberdade de pressão acústica. Esta opção é recomendada somente para a camada de elementos que está em contato direto com a parte estrutural, de forma a reduzir o número de variáveis (graus de liberdade) do sistema. Uma corroboração da metodologia utilizada em elementos finitos para análises acústicas pode ser realizada através da comparação com um modelo analítico. Sendo assim, considerando um tubo reto de paredes rígidas e seção transversal constante, a pressão sonora em seu interior pode ser considerada a soma de duas ondas de pressão que se deslocam em sentidos opostos com amplitudes A e B.

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Figura 1 – Pressão sonora no interior de um tubo reto de seção constante

Para fluidos invíscidos, sem a aplicação de força por unidade de massa do fluido e na condição unidimensional, a Equação de Euler (1) pode ser restrita na forma:

Portanto, a velocidade de partícula pode ser determinada a partir da equação da pressão indicada na Figura 1.

Sabendo que a velocidade de partícula junto a uma parede rígida é nula, e considerando uma pressão sonora de amplitude Po aplicada em uma das extremidades, se tem as seguintes condições de contorno:

Aplicando as condições de contorno nas equações da velocidade de partícula (20) e da pressão sonora (18), determinam-se as amplitudes A e B, consequentemente, obtém-se a equação que rege a pressão sonora desse sistema:

Estipulando comprimento de tubo e amplitude de pressão sonora unitárias num sistema de unidades internacional, chega-se ao gráfico da Figura 2, onde se verifica concordância das curvas resultantes do modelo analítico e o modelo numérico de elementos finitos.

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Figura 2 – Pressão sonora no interior de um tubo reto de seção constante determinada por modelo analítico e FEM

Todo o equacionamento desenvolvido até aqui mostra um sistema não-amortecido, no entanto é possível amortecimentos ou perda de energia através de uma impedância. Ainda no modelo unidimensional do tubo reto de seção constante, pode-se considerar a aplicação de uma espuma em uma de suas extremidades. Neste caso, a sua influência é matematicamente aplicada através de uma condição de contorno de impedância nesta parede. Sendo a impedância uma relação entre a pressão sonora e a velocidade de partícula, neste caso, a condição de contorno de parede rígida (22) é substituída pela impedância Z, ou seja:

Portanto aplicando as condições de contorno (21) e (24) nas equações (18) e (20), chega-se à: A Figura 3 mostra a coerência entre as curvas resultantes do modelo analítico e do modelo de elementos finitos.

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Figura 3 – Pressão sonora de um tubo com uma impedância em uma das extremidades determinada por modelo analítico e FEM

Os exemplos acima podem ser extrapolados para modelos mais complexos de acústica de interiores, tais como sistema de sucção ou de escapamentos, cavidades, silenciadores, etc. Porém em muitos casos, há o interesse de se conhecer a intensidade sonora irradiada em ambientes abertos, ou campo livre. Nestes casos, condições de contorno tais como as de anteriormente, não se aplicam, pois a fronteira do modelo teoricamente seria infinita, ou afastada o suficiente para que não haja ondas refletidas de volta ao sistema. Para simular tais condições, o ANSYS apresenta em sua biblioteca os denominados elementos infinitos, FLUID129 e FLUID130. Desta forma, para simular irradiação sonora de superfícies, a estrutura é circundada por um círculo em casos bidimensionais ou por uma esfera em casos tridimensionais, no qual em sua fronteira externa são aplicados os elementos FLUID129, em modelos 2D, ou FLUID130, em modelos 3D. Estes elementos atuam no sentido de absorver qualquer energia acústica que chegue à fronteira, impedindo a reflexão das ondas sonoras para o interior do sistema acústico analisado. Para que haja uma boa absorção da energia acústica na fronteira, recomenda-se que esta seja localizada a uma distância não inferior a 20% do comprimento de onda sonora da menor frequência de interesse de qualquer parte da estrutura analisada. A Figura 4 mostra a resposta acústica em diversas frequências determinadas ao longo do raio de uma cavidade circular cuja borda externa foi considerada como campo livre através da aplicação dos elementos infinitos FLUID129. Neste exemplo, foi aplicada uma pressão sonora unitária no ponto central do círculo, verificando-se que as curvas em cada uma das frequências são inversamente proporcionais à distância do ponto de medição ao centro do círculo. O fato de não se observar oscilações em cada uma das curvas, indica que não há reflexão de energia acústica na fronteira do sistema.

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Figura 4 – Pressão acústica em função da distância da fonte sonora em um campo livre

Com a formulação matemática apresentada, impedâncias e utilização dos elementos infinitos para simular campo livre, é possível desenvolver modelo  numéricos de estrutura mais complexas, tanto em análises de cavidades ou ambientes fechados como em ambientes abertos, ou campo livre. Para qualquer um desses casos, as fontes de excitação podem ser aplicadas diretamente à malha fluida, quer seja uma pressão sonora inserida por intermédio do APDL “D” (d,node,press,1), quer seja um fluxo de massa pulsando por unidade de tempo (kg/s²) no qual o comando “F” (f,node,flow,1) é empregado. No caso de ruído oriundo da parte estrutural, a fonte de excitação pode ser qualquer um dos carregamentos comumente utilizados em uma análise estrutural. Para isto, se faz necessária a definição da fronteira onde há a interface fluido-estrutura, através do comando SFE (sfe,all,,fsi), estando previamente selecionados somente os nós da interface e os elementos da parte fluida desta interface. Desta forma, curvas de pressão sonora ou pulsação de massa em função da frequência determinados experimentalmente, de bancos de dados ou normas, assim como carregamentos estruturais, podem ser aplicados, obtendo-se respostas de pressão sonora, gradiente de pressão, velocidade de partícula ou NPS (nível de pressão sonora) em função da frequência. A Figura 5 mostra o resultado de irradiação sonora na freqüência de 500Hz das paredes de um filtro de ar. Neste modelo, o filtro foi modelado com elementos de casca, SHELL 181, circundado por uma esfera preenchida com elementos acústicos FLUID30. Todos os elementos FLUID30 que apresentam contato direto com a parte estrutural possuem keyoption 2 igual a 0, ou seja, estão na interface com a parte estrutural. Os demais possuem keyoption 2 igual a 1, isto é, estão afastados da parte estrutural. Como o interesse é a irradiação sonora para o ambiente externo, nenhum elemento acústico é acrescido ao interior do filtro, e para simular a fronteira livre na face externa da esfera, elementos infinitos FLUID130 são acrescidos ao modelo através do comando ESURF. Por fim, a excitação aplicada é uma força inercial aplicada somente à parte estrutural, neste caso se fez necessário o uso do comando CMACEL. Desta maneira, foi realizada uma análise harmônica, fazendo uma varredura na frequência de 250Hz a 1kHz, obtendo-se a pressão sonora para cada uma das frequências calculadas. Assim, pode-se analisar a diretividade da irradiação sonora proporcionada pela vibração das superfícies do filtro (Figura 5).

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Figura 5 – Irradiação sonora das superfícies externas de um filtro de ar

Referências:

 

  1. Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E. – Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, Inc., 1989.
  2. Petyt, M. – Introduction to Finite Element Vibration Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
  3. Kinsler, L. E., Frey, A. R., Coppens, A. B., Sanders J. V. – Fundaments of Acoustics, third edition, John Wiley & Sons, Inc., 1982.
  4. Cremer, L., Heckl, M., Ungar, E.E. – Structured- Borne Sound, Second Edition, Springer-Verlag, Germany, 1988.
  5. ANSYS, Inc., Fluid Analysis Guide, Release 12, 2009.
  6. ANSYS, Inc., Theory Reference for the Mechanical APDL and Mechanical Applications, Release 12, 2009.
  7. Engineering Simulation and Scientific Software.

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