El método de volúmenes finitos


Soluciones analíticas de las ecuaciones de Navier-Stokes se han desarrollado sólo para flujos en geometrías simples y bajo condiciones ideales, debido a lo anterior la utilización de métodos numéricos para resolver flujos reales en geometrías complejas se ha hecho imprescindible. El método de volúmenes finitos (Finite Volume Method – FVM en su sigla en inglés)  fue introducido en la década de 1970 por McDonald, MacCormack, y Paullay e históricamente ha sido método preferido por los científicos e ingenieros que trabajan con la mecánica de fluidos.

Si bien en la última década el método de elementos finitos (FEM)  ha tenido importantes avances para poder resolver con éxito los desafíos de la mecánica de fluidos, todavía para problemas complejos relacionados a flujos multifásicos, reactivos, o fuertemente turbulentos, el método de volúmenes finitos es en la práctica la única solución.

Aspectos generales

Una importante propiedad de FVM es que los principios de conservación (masa, momentum y energía), los cuales son la base de la modelación matemática para la mecánica del continuo, por definición, son respetadas por las ecuaciones discretas deducidas por el método de volúmenes finitos. El método no se limita sólo a problemas de mecánica de fluidos, y de forma general envuelve los siguientes pasos:

  1. Descomponer el dominio en volúmenes de control;
  2. Formular las ecuaciones integrales de conservación para cada volumen de control;
  3. Aproximar numéricamente las integrales;
  4. Aproximar los valores de las variables en las caras y las derivadas con la información de las variables nodales;
  5. Ensamblar y resolver el sistema algebraico obtenido.

Malhas superficiais coloridas pela razão de aspecto da célula.

Figura 1: Mallas superficial coloreada por la razón de aspecto de la celda. Tomada de https://blog.pointwise.com

El punto de partida del método de volúmenes finitos es la descomposición del dominio en pequeños volúmenes de control (VCs) donde las variables son almacenadas en los nodos. Usualmente, los volúmenes de control y los nodos son definidos con una grilla numérica, la malla (Fig. 1). Los nodos, donde se guardan las variables a resolver, se ubican en los vértices de esta malla o en los centros de los volúmenes (Fig. 2), y es la referencia con la que se cuenta para aproximar la solución en el resto del dominio.

Después de haber definido los VCs, las ecuaciones de conservación son descritas en su forma integral para cada volumen. En este proceso el teorema de la divergencia de Gauss es usado para convertir integrales de volumen sobre operadores de divergencia y gradiente a integrales de superficie. Por ejemplo la ecuación de transporte general:

equacao1

Queda:

equacao2


Donde, ϕ es la variable transportada a través de un medio de densidad ρ y constante de difusión Γ que se mueve a una velocidad V con un término fuente Sϕ. Para la obtención final del sistema algebraico de ecuaciones las integrales son aproximadas, las volumétricas haciendo un cálculo simple basado en las variables nodales, las superficiales aproximándolas por los balances a través de las caras de los VCs. En dicho proceso aproximaciones de las variables en las caras y de los gradientes son hechas en función de las variables nodales:

equacao3

Finalmente, el sistema de ecuaciones es resuelto a través de métodos segregados o acoplados. Un aspecto fundamental en los algoritmos de solución es el proceso de inversión de matrices donde diversas técnicas han sido desarrolladas para aumentar la eficiencia del uso de los recursos computacionales y la velocidad de la obtención de la solución.

Nós nos vértices dos VCs (esquerda) e nós nos centros dos VCs (direita) para uma grade quadrilátera.Figura 2: Nodos en los vértices de los VCs (izquierda) y nodos en los centros de los VCs (derecha) para una grilla cuadrilátera.

¿Por qué FVM y no FEM para CFD?

Esta pregunta ha sido amplia y “apasionadamente” discutida, y en realidad no es una pregunta fácil de responder debido a que abarca varias dimensiones, desde aspectos puramente matemáticos y/o numéricos, pasando por aspectos de programación, hasta aspectos prácticos relacionados con los softwares comerciales.

Sin embargo, es posible encontrar un consenso relativo en algunos puntos. Por ejemplo, es innegable que en la última década ha habido avances significativos en la implementación de códigos que utilizan FEM para la resolución de problemas CFD, y que han estado superando de a poco viejos paradigmas sobre la simulación de flujos turbulentos, donde la inclusión de elementos de 7 u 8 grados de libertad hacía tremendamente inestable e inviables las simulaciones FEM.

Ahora bien, lo anterior no significa que a la fecha desde el punto de vista práctico y masificación de uso estén a la par de FVM, de hecho no, todavía queda un gran tramo que recorrer para ser utilizado con confianza por investigadores y en problemas industriales, donde los flujos son en general multifásicos y/o reactivos además de turbulentos.

Se debe mencionar que los softwares comerciales de mayor prestigio y uso, entre los cuales está ANSYS Fluent, utilizan métodos numéricos basados en FVM por lo que existe una experiencia acumulada en el “detalle” de la implementación de FVM en problemas de mecánica de fluidos (ondas de choque, combustión, superficie libe, entre otros) muy superior a FEM. Finalmente quizás no sea uno u otro método mejor en absoluto, quizás es posible obtener soluciones más precisas, estables y rápidas combinando los dos… bueno en realidad eso no es nuevo ANSYS CFX y ANSYS Fluent ya lo hacem!

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